Halaman
151Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX BABBarisan dan Deret6Tujuan PembelajaranPada bab ini, kamu akan mempelajari tentang barisan dan deret serta penggunaannya dalam pemecahan masalah. Setelah melakukan pembelajaran ini, kamu dapat:• menyatakan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan barisan dan deret bilangan;• mengenal unsur-unsur barisan dan deret seperti suku pertama, suku berikutnya, beda, dan rasio;• menentukan dan menghitung suku ke-n barisan bilangan;• mengenal pengertian deret aritmetika naik dan turun;• menemukan rumus suku ke-n dan jumlah n suku pertama deret aritmetika;• menghitung nilai suku ke-n dan jumlah n suku pertama deret aritmetika;• mengenal pengertian deret geometri naik dan turun;• menemukan rumus suku ke-n dan jumlah n suku pertama deret geometri;• menemukan sifat-sifat deret aritmetika dan deret geometri;• menggunakan sifat-sifat deret aritmetika dan geometri untuk menyelesaikan masalah;• menggunakan konsep deret dalam kehidupan ... (*).Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m, kemudian memantul di atas tanah dengan ketinggian 80% dari tinggi semula, begitu seterusnya hingga sampai dengan lima kali pantulan. Berapa tinggi bola pada pantulan ke-5 dan pada pantulan ke berapa bola tersebut mencapai ketinggian nol atau berhenti?Sumber: Dokumen Penerbit
152Bab 6Barisan dan DeretMateri PrasyaratMateri tentang barisan dan deret merupakan materi baru yang akan kamu pelajari karena belum pernah dipelajari sebelumnya. Sebagai prasyarat mempelajari materi ini, coba kamu ingat kembali konsep bilangan yang telah dipelajari di kelas VII dan VIII.Soal Pembangkit MotivasiSebelum mempelajari materi pada bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut!1. Hasan membuat pola dari susunan korek api seperti berikut ini!a. Gambarkan dua bentuk susunan korek api berikutnya!b. Tentukan pola bilangannya!2. Perhatikan jumlah korek api yang dibentuk oleh setiap bangun korek api di bawah ini.a. Tulislah barisan bilangan yang dibentuk oleh setiap jumlah korek api dari bangun itu.b. Tentukan aturan pembentukannya.
153Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX Kata Kunci• Barisan Aritmetika• Barisan Bilangan• Barisan Geometri• Beda• Deret• Pola Bilangan• Rasio• Suku3. Tulislah dua suku berikutnya dari barisan bilangan di bawah ini!a. 1, 4, 7, 10, 13, . . . , . . . . c. 1, 4, 9, 16, 25, . . . , . . . .b. –3, 0, 3, 6, 9, . . . , . . . . d. 25, 24, 21, 16, 9, . . . , . . . .4. Seorang petani akan menanami lahannya dengan 60 baris pohon singkong. Jika baris yang pertama terdapat 20 pohon dan baris selanjutnya terdapat 6 pohon lebihnya dari baris di depannya. Berapakah banyaknya pohon singkong yang akan ditanam? Bagaimanakah cara menghitungnya?A. Barisan dan Deret BilanganDalam kehidupan sehari-hari mungkin kalian pernah melihat nomor-nomor rumah yang berada di suatu jalan tertentu. Kalau kalian perhatikan biasanya rumah yang berada di sebelah kiri jalan bernomor ganjil dan rumah yang berada di sebelah kanan jalan bernomor genap. Nomor-nomor rumah tersebut dikatakan membentuk suatu pola tertentu. Di sebelah kiri jalan nomor rumah membentuk pola bilangan ganjil yaitu 1, 3, 5, 7, . . . . Di sebelah kanan jalan nomor rumah membentuk pola bilangan genap yaitu 2, 4, 6, 8, . . . . Sekarang coba perhatikan angka-angka pada kalender berikut ini! Sebutkan angka-angka yang menunjukkan hari Senin! Berdasarkan angka-angka pada hari Senin, apa yang dapat kalian ketahui tentang angka-angka tersebut? Coba kalian buat juga pola bilangan untuk hari lainnya, kemudian apa kesimpulan kalian?1. Pola Bilangan Pola bilangan adalah salah satu cara untuk menunjukkan aturan suatu barisan bilangan.Contoha. Pola bilangan ganjil1 3 5 7
154Bab 6Barisan dan Deretb. Pola bilangan genap2 4 6 8c. Pola bilangan kuadrat 1 4 9 16 atau 1 4 9 16d. Pola bilangan segitiga 1 3 6 10e. Pola bilangan persegi panjang 2 6 12 20Info PlusBilangan-bilangan Fibonacci adalah sebuah barisan bilangan yang setiap anggota dari barisan itu adalah jumlah dari dua bilangan yang mendahuluinya.Bilangan Fibonacci, yaitu 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, dan seterusnya. Istilah ini diambil dari nama seorang ahli matematika Halia Leonardo Fibonacci (1170 – 1250) yang memperkenalkan sistem bilangan Arab ke Eropa.KegiatanSeorang ilmuwan yang bernama Pascal membuat sebuah pola bilangan berbentuk segitiga yang disebut ”Segitiga Pascal”.Carilah pola segitiga Pascal di bawah ini dan tentukanlah bilangan-bilangan pada 2 baris selanjutnya!
155Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX 2. Barisan BilanganBarisan bilangan adalah sekumpulan bilangan yang tersusun menurut pola tertentu dan setiap unsur bilangan yang tersusun itu disebut suku barisan.Secara umum barisan bilangan ditulis:U1, U2, U3, . . . , Un–1, UnU1 suku ke-1 U(n–1)suku ke-(n–1)U2 suku ke-2 Un suku ke-nU3 suku ke-3Selisih antara dua suku yang berurutan dinamakan beda, dan perbandingan antara dua suku yang berurutan disebut dengan rasio.Perhatikanlah barisan berikut ini!2, 5, 8, 11, ..., UnDari barisan tersebut:U1 = 2, U2 = 5, U3 = 8, U4 = 11, kita juga dapat menentukan bilangan-bilangan berikutnya dengan memerhatikan aturan urutan suku-suku pada barisan bilangan itu. Contoh Perhatikanlah uraian berikut!• Suku pertamanya adalah U1 = 2 . 1 (1 + 1) = 4• Suku keduanya adalah U2 = 2 . 2 (2 + 1) = 12• Suku ketiganya adalah U3 = 2 . 3 (3 + 1) = 24• Suku keempatnya adalah U4 = 2 . 4 (4 + 1) = 40• Suku kelimanya adalah U5 = 2 . 5 (5 + 1) = 60Jadi, urutan 5 suku pertamanya adalah 4, 12, 24, 40, 60.11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Baris 1Baris 2Baris 3Coba kamu buat rumusan dari bentuk tersebut! Un = 2 . . . (. . . + . . . )
156Bab 6Barisan dan Deret3. Deret BilanganDeret bilangan adalah jumlah dari barisan bilangan. Jika U1, U2, U3, ..., Unadalah sebuah barisan bilangan maka U1 + U2 + U3 + . . . .+ Un adalah sebuah deret bilangan.Simbol untuk deret adalah Sn. Jadi, S1 = U1S2 = U1 + U2S3 = U1 + U2 + U3Sn = U1 + U2 + U3 + . . . + UnContohDiketahui suatu barisan dengan rumus Un = 4n – 1. Tentukanlah jumlah deret empat suku pertama!Penyelesaian:U1 = 4 . 1 – 1 = 3U2 = 4 . 2 – 1 = 7U3 = 4 . 3 – 1 = 11U4 = 4 . 4 – 1 = 15 ––––––––––––––––––– +S4= 36 Jadi, jumlah 4 suku pertama adalah 36.Uji KompetensiKerjakanlah pada buku latihan!1. Tentukanlah tiga suku berikutnya dari masing-masing barisan berikut ini:a. 1, 4, 9, 16, . . . , . . . , . . . . e. 11, 22, 33, 44, . . . , . . . , . . . .b. 2, 9, 16, 23, . . . , . . . , . . . . f. 1, 3, 7, 15, . . . , . . . , . . . .c. 0, 3, 6, 9, . . . , . . . , . . . . g. 60, 57, 54, 51, . . . , . . . , . . . .d. 0, 3, 8, 15, . . . , . . . , . . . h. 123, 234, 345, 456, . . . , . . . , . . . .2. Tentukanlah aturan dari suatu barisan bilangan di bawah ini:a. 4, 7, 10, 13, . . . . d. 2, 3, 5, 8, 13, . . . .b. 1, 8, 27, 64, . . . . e. 9, 10, 19, 29, 48, . . . .c. 1, 4, 16, 64, . . . . f. 2, 14, 26, 38, . . . .3. Tentukanlah rumus suku ke-n untuk barisan di bawah ini:a. 3, 4, 5, 6, . . . . d. 2, 6, 18, 54, . . . .b. 0, 3, 6, 9, . . . . e. 400, 200, 100, 50, . . . .c. 9, 14, 19, 24, . . . . f. 3, 8, 15, 24, . . . .
157Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX 4. Tentukanlah jumlah deret bilangan yang rumus suku ke-n nya diketahui: a. Un = n – 5 , untuk 10 bilangan yang pertama b. Un = 2n + 3 , untuk 7 bilangan yang pertama c. Un = n (n – 1) , untuk 4 bilangan yang pertama e. Un = n + 12n, untuk 4 bilangan yang pertama f. Un = n (n + 1) (n + 2) , untuk 4 bilangan yang pertamaB. Barisan dan Deret Aritmetika1. Barisan AritmetikaSuatu barisan disebut barisan aritmetika jika selisih (beda) antara setiap dua suku yang berurutan selalu merupakan bilangan tetap atau sama.Perhatikan uraian berikut.U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = Un – Un–1= b Karena Un – Un–1 = b , akibatnya Un = Un–1 + bJika suku pertama (U1) adalah a maka:U2 = U1 + b = a + b = a + 1bU3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2bU4 = U3 + b = (a + 2b) + b= a + 3b . . . . . .Un= Un–1 + b = a + (n – 2) b + b = a + (n – 1) bSehingga rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika adalah:Un = a + (n – 1) ba : suku awalb : bedan : banyak sukuUn : suku ke-n Catatan: a. Barisan aritmetika akan naik jika b > 0, dan b. Barisan aritmetika akan turun jika b < 0.Coba lanjutkan untuk U5, U6, dan U7!
158Bab 6Barisan dan DeretKegiatan1. Bentuklah suatu barisan aritmetika naik dengan beda 3 dan suku awal 5!2. Bentuklah suatu barisan aritmetika turun dengan beda 3 dan suku awal 5!3. Bandingkanlah jawaban no. 1 dan 2! Kesimpulan apa yang dapat kalian buat?4. Cobalah dengan beda yang lain dan suku awal yang lain!Contoh1. Tentukanlah rumus suku ke-n dari barisan di bawah ini!a. 5, 7, 11, . . . .b. –2, 3, 8, 13, . . . .c. 100, 96, 92, 88, . . . .Penyelesaian:a. 5, 7, 9, 11, . . . .a = 5b = 7 – 5 = 9 – 7 = 11 – 9 = 2 Jadi,Un = a + (n – 1) b = 5 + (n – 1) 2 = 5 + 2n – 2 =2n + 3b. –2, 3, 8, 13, . . . .a = –2b= 3 – (–2) = 8 – 3= 13 – 8 = 5 Jadi, Un = a + (n – 1) b = –2 + (n – 1) 5 = –2 + 5n – 5 = 5n – 7c. 100, 96, 92, 88, . . . .a = 100b= 96 – 100 = 92 – 96 = 88 – 92 = –4 Jadi, Un = a + (n – 1) b = 100 + (n – 1) – 4 = 100 – 4n + 4 = 104 – 4n2. Jika suku ke-5 suatu barisan aritmetika adalah 11, dan suku ke-11 adalah 29. Tentukanlah:a. Rumus suku ke-nb. Besar suku ke-20
159Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX Penyelesaian:a. U11 = a + 10b U5 = a + 4b____________________ _U11 – U5 = (10 – 4) b = 6bb = U11 – U56 = 29 – 116 = 3U5 = a + 4b11 = a + 4 . 311 = a + 12a = –1Jadi, rumus suku ke-n adalah Un = a + (n – 1) b = –1 + (n – 1) 3 = –1 + 3n – 3Un = 3n – 4b. U20 = 3 . 20 – 4 = 60 – 4 = 562. Deret ArmitmetikaPada pelajaran mengenai deret bilangan, telah diketahui bahwa deret adalah jumlah dari suatu barisan. Jadi, yang dimaksud deret aritmetika adalah . . . dari barisan . . . sehingga:Sn = U1 + U2 + U3 + . . . + Un–1 + UnSn = [a] + [a + b] + [a + 2b] + . . . + [a + (n – 2)b] + [a + (n – 1)b]Sn = [a + (n – 1)b] + [a + (n – 2)b] + [a + (n – 3)b] + . . . + [a + b] + [a] _________________________________________________________________________ + 2 Sn = [2a + (n – 1)b] + [2a + n – 1)b] + [2a + (n – 1)b] + . . . + [2a + (n – 1)b] + [2a + (n – 1)b] ada n suku2 Sn = n [2a + (n – 1)b]Sn = n2[2a + (n – 1)b]Jadi, rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmetika adalah:Sn = n2 (2a + (n – 1) b)Bentuk di atas dapat dinyatakan dalam bentuk lain:Info PlusPada barisan dan deret aritmetika:1. Un – Un–1 = b, nilainya selalu konstan.2. Sn – Sn– 1 = Un.
160Bab 6Barisan dan DeretSn = n2 [2a + (n – 1) b] = n2 [a + a + (n – 1) b] = n2 [a + Un]Jadi, rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah:Sn = n2 (a + Un)Contoh1. Tentukanlah jumlah 50 bilangan asli yang pertama!Penyelesaian:a = 1Un = 50S50 = 502 (1 + 50) = 25 (51) = 1.2752. Tentukanlah rumus deret di bawah ini dan tentukanlah pula jumlah 10 suku pertamanya!a. 4 + 11 + 18 + 35 + . . . .b. 50 + 39 + 28 + 17 + . . . .Penyelesaian:a. 4 + 11 + 18 + 35 + . . . .a = 4b = 11 – 4 = 7Sn = n2 [2a + (n – 1) b] S10 = 102 [7 . 10 + 1]Sn = n2 [(2 . 4 + (n – 1) 7] = 5 [71] = n2 [8 + 7n – 7] = 355 = n2 [7n + 1]b. 50 + 39 + 28 + 17 + . . . .a = 50b = 39 – 50 = –11
161Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX Sn = n2 [2a + (n – 1) b] S10 = [111 – 11n] = n2 [2 . 50 + (n – 1) (–11)] = 102 [111 – 11 . 10] = n2 [100 – 11n + 11] = 5 (11) = n2 [111 – 11n] = 55Uji KompetensiKerjakanlah pada buku latihan!1. Manakah dari barisan-barisan berikut yang merupakan barisan aritmetika?a. 13, 17, 21, 25, . . . . e. 0, 3, 6, 9, . . . .b. 4, –1, –6, –11, . . . . f. 3, 1 + 3, 2 + 3, 3 + 3, . . . .c. 3, 0, –3, –6, . . . . g. a, ab, ab2, ab3, . . . .d. 3, –3, 3, –3, . . . . h. a, a + k2, a + 2k2, a + 3k2, . . . .2. Tentukanlah beda, suku ke-10, dan jumlah 10 suku pertama dari barisan berikut!a. 5, 10, 15, 20, . . . . e. 6, –2, –10, –18, . . . .b. –20, –16, –12, –8, . . . . f. 5, 105, 205, 305, . . . . c. 23, 63, 93, 123, . . . . g. 2, 312, 5, 612, . . . .d. 5, 3, 1, –1, . . . . h. –4, –1, 2, 5, . . . . 3. Tentukanlah rumus suku ke-n untuk masing-masing barisan aritmetika berikut! a. –17, –13, –9 d. 3, 3 – 14 , 3 – 12 , . . . .b. 8, 11, 14, . . . . e. –5, –3, –, –2, . . . .c. 10, 7, 4, . . . . f. –2, 5, 12, . . . . 4. Tentukanlah suku yang diminta untuk tiap barisan aritmetika berikut ini!a. –20, –5, 10, . . . ; suku ke-12 b. 25, 22, 19, . . .; suku ke-8 c. 1, 112, 4, . . . ; suku ke-20 5. Tentukanlah suku pertama, beda, dan rumus suku ke-n, jika diketahui:a. suku ke-10 adalah 21 dan suku ke-5 adalah 11b. suku ke-8 adalah –17 dan suku ke-3 adalah 13c. suku ke-4 adalah –12 dan suku ke-12 adalah –28
162Bab 6Barisan dan Deret 6. Tentukanlah jumlah deret aritmetika di bawah ini!a. 2 + 4 + 6 + . . . . sampai 10 sukub. –8 + (–4) + 0 + . . . . sampai 20 suku c. 13 + 12 + 23 + . . . . sampai 21 suku 7. Tentukanlah unsur-unsur yang ditanyakan pada barisan aritmetika di bawah ini! a. a = 5, b = 3, U29 = . . . , S10 = . . . . b. a = 9, U15 = 135, b = . . . , S5 = . . . . c. b = 17, U21 = 336, a = . . . , S8 = . . . . d. a = 21, b = –8, Un = –99, n = . . . , Sn = . . . . e. a = 2, b = 9, n = 15, Un = . . . , Sn = . . . .f. U6 = 5, U12 = –13, a = . . . , b = . . . .g. U4 = 3, U6 – U1 = 5, a = . . . , b = . . . . h. a = 4, Un = –22, Sn = –99, b = . . . . 8. Tentukanlah y jika diketahui:a. –3 + 1 + 5 + . . . + y = 187b. 8 + 1 – 6 – 13 – . . . – y = –615c. –3 – 1 + 1 + 3 + . . . + y = 320d. –3 + 4 + 11 + . . . + y = 277e. 2 + 5 + 8 + . . . + y = 1000f. 100 + 96 + 92 + . . . + y = 0 9. Tentukanlah jumlah semua bilangan asli yang terletak:a. di antara 200 dan 600, yang habis dibagi 4b. di antara 1.000 dan 2.000, yang habis dibagi 310. Sisipkanlah tujuh bilangan antara 13 dan 19 hingga terbentuk deret aritmetika, kemudian tentukanlah:a. besar suku ke-5 b. jumlah sembilan bilangan tersebutC. Barisan dan Deret Geometri1. Barisan GeometriSuatu barisan disebut barisan geometri jika perbandingan (rasio = r) antara tiap dua suku berurutannya selalu merupakan bilangan tetap. Perhatikanlah uraian berikut.U2U1 = U3U2 = U4U3 = . . . = UnUn-1 = r Karena r = UnUn-1 , akibatnya Un = Un–1r
163Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX Jika suku pertama (U1) adalah aU1 = a = ar0, maka diperoleh:U2 = U1. r = ar1U3 = U2 . r = ar2U4 = U3 . r = ar3...Un = Un–1 . r = a.rn–1 Sehingga rumus umum suku ke-n dari barisan geometri adalah:Un = arn–1a = suku awal n = banyak suku